Ο Δρ. Αχιλλέας Αλεξανδράκης γεννήθηκε στην Αθήνα τον Σεπτέμβριο του 1974 και αποφοίτησε από το δημόσιο σχολείο Παλαιού Ψυχικού το 1992. Το 1993 παρακολούθησε στην Ουγγαρία το τμήμα Αγγλικής Οδοντιατρικής Σχολής του Πανεπιστημίου Semmelweis της Βουδαπέστης, από το οποίο αποφοίτησε το 1999. Όταν επέστρεψε στην Αθήνα τον Σεπτέμβριο του 1999, άρχισε να εργάζεται στην Οδοντιατρική Σχολή της Αθήνας ως βοηθός στο ιατρείο της καθηγήτριας Γεωργοπούλου Μαρίας.

Το καλοκαίρι του 2000 κατατάχθηκε στον Ελληνικό Στρατό, από όπου απέκτησε και την ειδικότητα της οδοντιατρικής. Επιπλέον, εργάστηκε ως οδοντίατρος στην Οδοντιατρική Κλινική των φρουρών Αθηνών στο Νοσοκομείο ΝΙΜΤΣ μέχρι το 2001, που απολύθηκε από τον Ελληνικό Στρατό.

Το 2003, ταυτόχρονα με τα εγκαίνια της ιδιωτικής του κλινικής, ο Δρ. Αχιλλέας Αλεξανδράκης εισήλθε στην Οδοντιατρική Σχολή Αθηνών, αρχικά στο Μεταπτυχιακό Τμήμα Περιοδοντολογίας ως βοηθός και επιτηρητής και αργότερα, το 2004, στο Τμήμα Οδοντιατρικής, πάλι ως βοηθός και επιτηρητής.

Στις αρχές του 2005, συνέχισε την εκπαιδευτική του διαδρομή στο διεθνές κέντρο Οδοντιατρικής Εκπαίδευσης, ICDE, της εταιρείας Ivoclar-Vivadent στο Λιχτενστάιν, όπου παρέμεινε για ένα εξάμηνο. Εκεί εκπαιδεύτηκε και ειδικεύτηκε στην επανορθωτική και αισθητική Οδοντιατρική.